第13卷第4期數(shù)學(xué)教育學(xué)報Vol.13, No.42004年11月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONNov, 2004數(shù)學(xué)●技術(shù)●數(shù)學(xué)教育David Leigh-Lancaster(維多利亞州課程和評價局，澳大利亞)摘要:數(shù)學(xué)可以部分地理解為是對數(shù)、邏輯、空間和結(jié)構(gòu)的功能和模式的研究.技術(shù)發(fā)展和數(shù)學(xué)發(fā)展之間的聯(lián)系貫穿整個歷史.無論是以手持還是以計算機操作平臺為基礎(chǔ)，類似電子制表、動態(tài)幾何系統(tǒng)、統(tǒng)計分析系統(tǒng)以及計算機代數(shù)系統(tǒng)等技術(shù)都提出了關(guān)于數(shù)學(xué)活動本質(zhì)的問題.在廣泛應(yīng)用新技術(shù)以促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備中，有兩個實際問題需要解決:教師的專業(yè)發(fā)展和恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)資源的獲得.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教育:技術(shù):數(shù)學(xué)課程中圖分類號: G434文獻標(biāo)識碼: A文章編號: 1004 -9894 ( 2004) 040062 -05為確保學(xué)生獲得一定的方法、使用技術(shù)理解數(shù)學(xué)的過程，在1簡介給定情景下所有可能應(yīng)用的方法和工具中進行理智選擇，學(xué)本文考慮了學(xué)校數(shù)學(xué)課程中諸如計算器和其它信息交生智力和動手技能的健全發(fā)展是必不可少的.學(xué)生需要發(fā)展流技術(shù)(ICT)等應(yīng)用中的- -些原則性和實踐性的問題，以.種對所得結(jié)果是否合理的強烈意識，不管有沒有借助于技及趨勢及策略.從維多利亞的角度出發(fā)，考察了高中的數(shù)學(xué)術(shù)，并且能夠識別一種數(shù)學(xué)表示的不同表達形式.這些是不課程.對這些問題所作的全面、綜合的思考，是基于對以下同階段的課程中做數(shù)學(xué)的補充部分，并且合理地理解相關(guān)概幾個方面的研究:數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育和技術(shù)之間歷史與現(xiàn)實的念、技能和過程將鞏固它們在不同理論和實踐背景下的有效關(guān)系，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的歷史和哲學(xué)，權(quán)威機構(gòu)、委員會、應(yīng)用這項工作將集中在數(shù)學(xué)關(guān)鍵方面:推理和表達、解答、理事會以及政府部門在歷史.上和目前所進行的工作，這些部解釋和交流.其中，技術(shù)將在解決問題和交流方面起到最大門是有關(guān)教學(xué)、課程和評價中計算器和其它ICT作用和應(yīng)的協(xié)助作用.用的.維多利亞課程和評價權(quán)威機構(gòu)(VCAA)是法定的機2技術(shù)構(gòu)，負責(zé)從學(xué)前到12年級的課程和評價.數(shù)學(xué)可以部分地理解為是對數(shù)、邏輯、空間和結(jié)構(gòu)的功Mathematics的詞根是Math,意思是Learn. Technology能和模式的研究.它提供了一種思考的結(jié)構(gòu)以及一種符號交對應(yīng)的詞根是Tekhne,意思是技藝(Ar)或者技能(Skill).技流的形式，這種結(jié)構(gòu)和符號形式是強大的、富有邏輯的、簡術(shù)可以看作是技巧或技能(Tekhne)的系統(tǒng)應(yīng)用(Logia).拉明的、精確的，是一種人們可以借助于理解和處理周圍環(huán)境丁詞中同義詞Ars來源于英文單詞Art,現(xiàn)在的意思是“...的方式.基本的數(shù)學(xué)活動包括計算、抽象、假設(shè)(猜想)、的技藝(the Artof)”.實際上，古英語Arte或者Artes常常證明、應(yīng)用、驗證、建模和提出并解決問題.在維多利亞，用在歷史文獻中，表示做某事的方法.例如Roberte Recorde從學(xué)前到12年級的數(shù)學(xué)課程的設(shè)計，為學(xué)生提供了有價值的16世紀(jì)的算術(shù)課本名字是The Grounde of Artes--這是的、富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的途徑，它們在某種程度上考慮最早出現(xiàn)的用英語寫作的文獻，因此更加接近于普通大到了更廣泛學(xué)生的需要.同時，課程的設(shè)計還促進學(xué)生認識眾.有意思的是，公元前1世紀(jì)，古老的中國數(shù)學(xué)課本的名到在技術(shù)社會的日常生活中數(shù)學(xué)的重要性，以及提高學(xué)生有字叫做《九章算術(shù)》(Nine Chapters on the Mathematical效地使用數(shù)學(xué)思想、技術(shù)和方法處理問題的自信心.Art)，也是用的Art， 與前面提到的涵義相同.牛津詞典中課程設(shè)計的根本原則是所有學(xué)生將從事以下的數(shù)學(xué)活把“Art”解釋為“技能，不同于自然的人類的技能”，也解動: (I) 應(yīng)用知識和技能:通過學(xué)習(xí)和實踐數(shù)學(xué)的算法、程釋為“作為某種更高級學(xué)習(xí)的智力工具的某個知識門類”。比序和技巧,并使用它們找到解決問題的方法來學(xué)習(xí)和掌握已較接近的一一個詞是“Artefact"人工制品，在字典上描述為經(jīng)存在的數(shù)學(xué)知識的不同方面: (2)建模、 研究和解決問題:“經(jīng)過人類加工制作的產(chǎn)品”。我們常常聽到考古學(xué)家在- -些在不熟悉的情景中創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和技能,包括需要古遺址中發(fā)現(xiàn)各種各樣的人工制品，猜測和研究它們的用途觀察、建模或者問題解決步驟的真實生活情景; (3) 使用技和價值.考古學(xué)家們知道發(fā)現(xiàn)的這些“東西(Thing)”是“人術(shù):有效、恰當(dāng)?shù)厥褂眉夹g(shù)獲得結(jié)果，這些結(jié)果支持數(shù)學(xué)學(xué)工制品”，而不僅是“物體(Object)”", 因為它們與人類在習(xí)以及在不同環(huán)境中的應(yīng)用"。特定環(huán)境下的生產(chǎn)和娛樂相聯(lián)系?！?技術(shù)(Technology)” 常在維多利亞，提倡教師和學(xué)生使用技術(shù)(比如圖形和被通中國煤化工urtefacts), 比如移動電CAS計算器，電子表格，圖形和數(shù)字分析軟件包，動態(tài)幾舌、面的.然而它對于明確何系統(tǒng)，統(tǒng)計分析系統(tǒng)，計算機代數(shù)系統(tǒng))，作為學(xué)習(xí)新知地承MYHC N M H Gtefac”"的關(guān)系是重要識、技能訓(xùn)練、標(biāo)準(zhǔn)地應(yīng)用、研究的適當(dāng)工具.與此相關(guān)聯(lián)，的.更準(zhǔn)確地說，Technology 是人工制品(Artefact) 和技收稿日期: 2004-08-29作者簡介: David Leigh-Lancaser,男。澳大利亞維多利亞州課程和評價局數(shù)學(xué)主管、專家研究委員會主席，主要從事數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)教育及賴有評估研究第4期David Leigh-Lancaster:數(shù)學(xué)●技術(shù)●數(shù)學(xué)教育63藝(An) 的綜合-一有目的地使用特定的物體作為工具的事實上,算法和科學(xué)的計算器只能以數(shù)字模式運行，圖各種技藝的系統(tǒng)應(yīng)用.形計算器可以以數(shù)字和圖形模式運行，CAS計算器可以集舉例來說，我們來考慮一個又長又細的木條,不論大小，數(shù)字的、圖形的和符號的3種模式運行，另外，這些計算器通常叫做一根“棍".現(xiàn)在棍(和相關(guān)的物體，例如柱或桿)能存儲大量的文本資料,比如學(xué)習(xí)筆記、間題的解和注釋.在有著各種不同的用途，可以當(dāng)作柴火、籬笆樁、挖掘工具、過去的大約十年的時間中，具有強大數(shù)學(xué)及其它功能的、基杠桿、建筑物的建筑材料、打魚或者耕作工具(鋤頭或者耙于計算機的和手持的技術(shù)有了提高，也包括鍵盤功能，觸摸子)、用于運載的武器(棍棒和矛)、廚房用具(攪拌器和筷板和光電筆(古老的棍又出現(xiàn)了)和語音識別模式的輸入和子)，甚至是簡單的助行工具(拐杖)等.在以上這些情況操作.這些技術(shù)也給其它與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的學(xué)科和領(lǐng)域提供中，這些人工制品都是從基本的棍通過各種不同的加工處理了更多的功能.在教育中，這些技術(shù)已經(jīng)展開應(yīng)用，并且將制成的.隨著時間的推移，更多地發(fā)現(xiàn)了關(guān)于棍的更加抽象繼續(xù)為教學(xué)、學(xué)習(xí)和評價提供新的機會，也將給整個教育體的形式和應(yīng)用，比如樂團指揮的指揮棒、計數(shù)棒、內(nèi)皮爾骨、系和教師在如何對技術(shù)的發(fā)展做出有效回應(yīng)方面提出挑戰(zhàn).滑尺(兩個平行的可移動的棍，上面標(biāo)有對數(shù)刻度)等. 這3技術(shù)和數(shù)學(xué)不僅僅是一個物質(zhì)的棍，而是有用的符號表示.一根小棒，或其符號表示為一條垂直或水平的線段,從史前開始就- - 直技術(shù)發(fā)展和數(shù)學(xué)發(fā)展之間的聯(lián)系是貫穿整個歷史的.在用來記數(shù).動物大腿骨的各種不同的切口，有時候組成組，有些情況下，數(shù)學(xué)的發(fā)展導(dǎo)致了新技術(shù)的出現(xiàn)，比如19世或者是其它材料被用做記數(shù).實際上，羅馬數(shù)字3表示為lI紀(jì)和20世紀(jì)初期的數(shù)理邏輯形成了現(xiàn)代ICT技術(shù):而在其(垂直線段)，用中文表示是三(水平線段).印度- -阿拉伯它--些情況中,新技術(shù)的使用反過來又刺激了數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)的數(shù)字符號3，如果稍稍加上一些想象力的話，也可以看作用的進展,比如迭代變換的圖形表示導(dǎo)致了混沌理論分析及是3條水平線段由曲線連接而成。當(dāng)然，其它不完全規(guī)則的其在氣象學(xué)、流體和市場經(jīng)濟行為等其它領(lǐng)域中的應(yīng)用.物體也可以用來記數(shù)，作為單元或者籌碼，比如算盤上的珠歷史上在各自時期的“新”技術(shù)的例子，包括算盤和計數(shù)板、算術(shù)計算的筆紙算法、機械計算器和電動計算機以及子、計數(shù)板上的干豆或者小石頭等.隨著12世紀(jì)意大利的Leonardo Fibonacci將其介紹到歐電子計算機.數(shù)學(xué)家，和其他每天在實際情況中使用計算和洲，人們把印度- -阿拉伯“鉛筆和紙”做算術(shù)的技巧看作是表格的人，一直對具有一- 定功能的算法和程序的設(shè)計方法和.種激進的、充滿爭議的革新.經(jīng)過幾個世紀(jì)，到文藝復(fù)興裝置的可能性感興趣，這些功能可以使計算有效地運行，這時期，才被意大利的商業(yè)銀行和會計應(yīng)用所接受.朱世杰是些想法背后的理論框架,只是在20世紀(jì)30年代才由數(shù)理邏中國宋末元初的一位最著名的數(shù)學(xué)家.這個時期是中國數(shù)學(xué)輯明確地揭示出來，而在此之前數(shù)理邏輯已有幾百年的歷發(fā)展的黃金時期，包含有用多項式方程來表示的問題建立起史.然而，可以實施各種計算的設(shè)備裝置與有記錄的人類歷來，并運用計數(shù)板加以解決.這些方法，是基于操作計數(shù)板史一樣古老，甚至更早.若干世紀(jì)中所發(fā)生的變化是人類作上表示多項式系數(shù)的矩陣來解決問題的,它們是最早出現(xiàn)的為操作者，所需要輸入的數(shù)據(jù)、運行的方法和對結(jié)果進行解計算代數(shù)(Computational Algebra). 在每個情況中，技術(shù).釋的程度.早期的技術(shù)，對數(shù)據(jù)的每個處理階段都需要人的(Technology)的使用需要系統(tǒng)應(yīng)用與相關(guān)工具或者人工制f預(yù).在這些技術(shù)中,中間結(jié)果沒有被記錄，與計算相關(guān)的品相連的技藝，可能是圖表、計劃、機械或電子裝置.歷史步驟是無“記憶”的.這樣的計算是無法檢查的，除非重復(fù)上出現(xiàn)過的數(shù)學(xué)的記數(shù)和計算裝置主要有:桌上型的有計數(shù)一遍、另一方面，“紙筆”的書面計算總可以把中間步驟作板，機械計算器和機器，電機械計算機，電離子計算機及電為外在記憶(紙上的標(biāo)記)保留下來，以便將來檢查.子數(shù)字半導(dǎo)體計算機等:手持型的有手(手指)計算器，算在西方，從17世紀(jì)開始，人們就在制造用于基本算術(shù)盤，電子數(shù)字算術(shù)計算器，電子數(shù)字科學(xué)計算器，電子數(shù)字計算的簡單設(shè)備,那個時期的操作者不要求完成計算的中間圖形計算器及電子數(shù)字計算機代數(shù)系統(tǒng)(CAS計算器)等.步驟，只是輸入原始數(shù)據(jù)，并解釋最后輸出的結(jié)果，同時還不論何時，數(shù)學(xué)超越個人思維活動變成-一個公共的領(lǐng)要投入一些體力，比如轉(zhuǎn)動輪子來啟動計算設(shè)備。這些發(fā)展域，這個過程的中間媒介就是某種形式的信息和交流技的實際動機包括:節(jié)約時間做其它工作，提高計算速度，增術(shù). -旦技術(shù)為我們所熟悉，它們往往被當(dāng)成是無形的，它加計算的可靠性.們的應(yīng)用也是理所當(dāng)然的.只有當(dāng)-種新的技術(shù)形成的時這些裝置的進一-步發(fā)展導(dǎo)致了相當(dāng)復(fù)雜的機械計算機，候，或者-一-種已有技術(shù)產(chǎn)生某種新的用途時，我們才會停下這個發(fā)展一直持續(xù)到1937年，電動機械和電子元件在幾十來,思考這種應(yīng)用的益處和適當(dāng)性.人類是-.種科技的動物，年中很快取代了長久以來使用的更笨重的機械裝置.在在我們的種族、社會、歷史的、已有的和即將的進化和發(fā)展1927年, Claude Shannon利用布爾代數(shù)，發(fā)展了在計算設(shè)備中，技術(shù)起著中心的作用.技術(shù)使我們的生活更加容易-上開關(guān)中國煤化工是，據(jù)報道，他所做它們使我們更加輕松、更加可靠地用更少的努力做成某些事的繁重的YH;計算機上完成的，這情.從20世紀(jì)70年代初期以來,已經(jīng)有各種不同的電子技個計算C N M H Gannevar Bush的微分術(shù)產(chǎn)品應(yīng)用于數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育:算術(shù)四則運算計算器，科學(xué)分析器，它可以給出包含18個自變量的微分方程的圖形解。計算器，各種微機應(yīng)用軟件，圖形計算器和近來帶有CAS直到最近，計算器.計算機這類術(shù)語才開始用來指代“技術(shù)的人工制品(Artefact)"， 而不是指操作技術(shù)的人.這種的手持計算器.它們的運算功能在逐步擴大.64數(shù)學(xué)教育學(xué)報第13卷稱謂的改變是與1940年以來，自動計算和計算裝置的演變Further Mathematics是以大量數(shù)據(jù)分析為核心的離散數(shù)相聯(lián)系的，在這些計算中，操作者不需要干預(yù)計算過程的各學(xué); Specialist Mathematics是一-門高水平的純粹和應(yīng)用的數(shù)個階段，只要輸入數(shù)據(jù)即可.隨著20世紀(jì).上半葉數(shù)理邏輯學(xué)學(xué)習(xí):《數(shù)學(xué)方法》1~4單元包括坐標(biāo)幾何、函數(shù)、代數(shù). .理論和可計算性理論的不斷發(fā)展，結(jié)合電子和其它技術(shù)設(shè)備微積分和概率，同時為諸如數(shù)學(xué)、科學(xué)、工程學(xué)、醫(yī)學(xué)和經(jīng)的高速進展，人工智能和自動證明理論成為新的主要研究領(lǐng)濟學(xué)等領(lǐng)域的后續(xù)學(xué)習(xí)提供準(zhǔn)備,其中單元3和單元4通常域.類似地，特別是在最近- - 二年中，在數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中是必備的，單元1和單元2通常安排在11年級，單元3和使用計算機和計算器的興趣一直在增長， 而像計算機代數(shù)系單元4，與學(xué)年結(jié)束時的考試，安排在12年級.在2001年統(tǒng)、統(tǒng)計分析系統(tǒng)和動態(tài)幾何系統(tǒng)這些技術(shù)，隨著其幾十年2月，延續(xù)權(quán)威機構(gòu)的前身鑒定委員會的工作，前研究委員在研究領(lǐng)域、工業(yè)和商業(yè)中的廣泛使用，變得更加有用.會認定《數(shù)學(xué)方法》(CAS)單元1~4從2001年1月到2005復(fù)雜的和集成的算法平臺在1970 年以后正式發(fā)展起年12月31日期間試行.這是一個《數(shù)學(xué)方法》的平行科目，來，這些平臺在數(shù)學(xué)構(gòu)造上能自由地運作，并能使使用者可它假設(shè)學(xué)生都能得到承認的CAS.與此同時，數(shù)學(xué)方法假以像他們用腦或手一樣，定義和操作數(shù)學(xué)對象.可能最為人定學(xué)生都能得到圖形計算器.從2006年開始，所有的學(xué)校們熟知和使用最廣泛的就是各種各樣的計算機代數(shù)系統(tǒng),如都將能夠為他們的學(xué)生提供《數(shù)學(xué)方法》(CAS)單元Derive, Maple and Mathematica, 出現(xiàn)了許多功能強大、用1-4.對于課程和評價權(quán)威機構(gòu)，教育學(xué)、課程和評價之間途明確的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件,包括電子制表軟件、統(tǒng)計分析系統(tǒng)、的一致性，是討論技術(shù)應(yīng)用的中心部分.這里的- -致性指的動態(tài)幾何系統(tǒng)軟件.幾何畫板.這些軟件是使用專門的程序是在課程結(jié)構(gòu)和目標(biāo)、數(shù)學(xué)工作的方法、評價的本質(zhì)和目的語言編制的，它們的操作界面設(shè)計得非專家也可以輕松使之間的結(jié)合，尤其是在考試中.回答這個問題，有幾種方法用.然而，要有效使用這些可以在各個研究領(lǐng)域中進行調(diào)查、可以運用，包括設(shè)計校本和外部評價的任務(wù)和問題，以及在研究、建模或者問題解決的強大工具，就需要對數(shù)學(xué)以及相評價的組成部分中自由、積極地運用技術(shù). VCAA目前正在應(yīng)研究領(lǐng)域的學(xué)科有充分的理解.今天，教師和學(xué)生已經(jīng)可反思高中數(shù)學(xué)課程，維多利亞教育認證委員會(VCE)的關(guān)以利用這些工具.于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的咨詢草案可以從VCAA網(wǎng)站獲得.4數(shù)學(xué)教育 中的技術(shù)的個案研究5在數(shù)學(xué)課程中數(shù)字技術(shù)的使用伴隨著技術(shù)在數(shù)學(xué)教育中的運用，20世紀(jì)后半葉，維案例1運用圖形計算器找出兩條曲線之間的面積.多利亞的數(shù)學(xué)教育大致可以分為4個階段.學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程的主要函數(shù)、代數(shù)和微積分●20 世紀(jì)60年代，“新數(shù)學(xué)”Jean Piaget 和Zolan中，有兩個簡單而熟悉的函數(shù)，它們是定義在實數(shù)域上的Dienes的認知方法的出現(xiàn)，與此并行的主要來自于美國的行y=x2和y2= sinx.它們是初等函數(shù)，通常在那些課程中還為主義和“掌握學(xué)習(xí)”，以及滑尺和表的使用.要學(xué)習(xí)各種的其它函數(shù).積分的一個通常應(yīng)用就是找出兩個●20 世紀(jì)70年代，接近于數(shù)學(xué)建構(gòu)的“發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”函數(shù)圖像及其交點所圍成的區(qū)域的面積.只要兩個初等函數(shù)方法的發(fā)展和數(shù)學(xué)建模的出現(xiàn)(尤其是在70年代后期),主的任意組合能夠適當(dāng)相交.因此，一個很自然的問題就是如要來自英國，以及科學(xué)計算器的使用.何根據(jù)函數(shù)式y(tǒng)i和》來求出面積.●20世紀(jì)80年代，數(shù)學(xué)建模的延續(xù)，“問題解決”顯然，當(dāng)x=0時, y1=y2，另外一個使y值相等的點x的出現(xiàn)，特別是來自80年代全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(NCTM),=k，因為1=1, sinx的最大值是1，所有k