第30卷第4期(下)赤峰學院學報(自然科學版Vol. 30 No 42014年4月ournal of Chifeng University( Natural Science EditionApr.2014分形與連分數(shù)閆月靜,李核,劉豐(吉林師范大學數(shù)學學院,吉林四平136000摘要:分形幾何學以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象,在數(shù)論中有著重要的應用連分數(shù)的展式具有分形集結(jié)構(gòu)的自相似性,可以估算其部分商滿足一定條件下的 Hausdor維數(shù)關鍵詞:分形;連分數(shù); Hausdorff測度; Hausdorft維數(shù)中圖分類號:O29;0156文獻標識碼:A文章編號:1673-260X(201404-0001-021分形理論δΣU取其下確界,有H。(F)≤8H(F令80,D>s,若H1.1分形的定義在20世紀70年代, Mandelbrot為了表征復雜圖形和復a,則H=D.所以存在s的一個臨界點使得H從雜過程引入了“分形”faca一詞,它的原意是指不規(guī)則的跳躍”到0,該臨界值就稱為集F的 Hausdorff維數(shù),記為支離破碎的物體,隨后又將其引入到自然學科領域,逐步形dimH(F)成了以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的分形幾何學dimH(F=infs: H(F=0=sups: H(F=oo I在1982年, Mandelbrot將分形定義為拓撲維數(shù)大于=inf(s: H(F) oo =sup(s: H(F)>OKHausdorff維數(shù)的集合.之后, Mandelbrot又給出了分形更廣∞,sdimH(F)圖形中的局部與整體間的自相似性迄今為止,分形還沒有2連分數(shù)嚴格的定義分形在經(jīng)典數(shù)論中的例子就是連分數(shù),可以利用連分一般地,具有如下典型性質(zhì)的集F稱為分形數(shù)的展開式來定義數(shù)集(i集F在任意小的尺度下都有精細的結(jié)構(gòu);21連分數(shù)的定義ⅱ)集F是極不規(guī)則的,它不能用傳統(tǒng)的歐幾里德空間任意一個不是整數(shù)的數(shù)x都可以寫成x=an+1/x1,這里a的集合語言進行描述,即它既不是某些方程的解集又不是是一個整數(shù),并且x>1.類似地,如果x不是整數(shù),那么滿足某些條件的點的軌跡x=a+1/x2,這里x2>1,所以x=a+1/a+1/x2),以這種方法進行(ⅲi集F具有結(jié)構(gòu)上的自相似性下去,對每個k,x=a+l/(a+1(…1/a-+1/x(iv)集F的分形維數(shù)大于其拓撲維數(shù);假設在每一步x都不是整數(shù)則稱整數(shù)序列a在大多數(shù)的情況下,分形集F的定義很簡單,并且可以(可以是有限項也可以是無限項)是x的部分商,之“a3通過變換相應的迭代關系而產(chǎn)生2 Hausdorff測度在R中, VUCR U≠0,U的直徑為U=sup{xyx,y∈U},即U內(nèi)任何兩點距離的最大值若FCYU,且對ⅵ都為x的連分數(shù)的展式,或記為aa,aa…]的形式連分數(shù)的展式在結(jié)構(gòu)上很好的體現(xiàn)了分形集的精細結(jié)有00,定義22連分數(shù)的基本性質(zhì)及應用H(F=f∑U:U為F的。-覆蓋性質(zhì)1有理數(shù)可以展開成有限項連分數(shù),無理數(shù)可以展開成無限項連分數(shù)考慮所有滿足Ⅲ≤8的F的覆蓋使∑U達到最小例1當δ減少時,上式中能覆蓋F的集類也減少,H。(F)增加,且當8-0時,H。(F)趨于一個極限記HvF=lmH(F)V2=1+,即√2=1,2,2,2,…對VFCR“此極限都存在,我們稱H()為F的s-維Hausdorff測度性質(zhì)2具有整系數(shù)的二次方程的根都有周期性的部3 Hausdorff維數(shù)分商(即二次根式)對于ⅤFCR,8<0H(F)對s是不增的,且H(F)也是不例2x2+4x-2=0的根x=-2+V6,x2=-2-V6增的,進一步來說,若t>s,(U}為F的8-覆蓋,則有∑U≤我們考慮正根x=-2+V6=1分商a1,n,進而可以求出x的連分數(shù)展式.進行變換2+√a+a+x,即可求出Va的連分數(shù)展式a1,a2,a,,a,則√a=x0.242.4.24,…}=024例4求√7的連分數(shù)展式解V7的整數(shù)部分a=2,令x=V7-2由此,我們可以給出V6的連分數(shù)形式[224,24,24…}=[2.4x=V7-2=(V7=2V7+2√7+2V7+2性質(zhì)3已知周期性的部分商,可以求出無理數(shù)/7-1例3x=[1,1212…1=12令x-1=A,A=0,1,1,2,1,2,…=(0.i.21+3V7+2周期性的部由于連分數(shù)整體結(jié)構(gòu)就有分形的自相似性,則λ1,化簡為A+2A-20,4+V7分商為1,1,14,則x=V7-2=0.i.i4.所以V7=x+2解得λ=-1+√3,A2-1-√3(負根舍去),得到2.ii14.+y3,則x=V3,即√3=1.1.22.12…=1,i,213連分數(shù)分形集的 Huasd0維數(shù)性質(zhì)4A[ana,a,ay…}=[ Aan Aa,Aa2,Aa…l利用分形的自相似性,也可以定義分形集設DCR,且23形如√a的連分數(shù)展式D為閉集,映射S:D→D,如果Ⅴx,y∈D,3c,0